Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины (видео)

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение.

Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция.

Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание комплексной случайной величины e{isX} , рассматриваемое как функции параметра s (здесь и далее в этой части i – мнимая единица).

Таким образом, характеристичская функция непрерывной случайной величины X задаётся формулой

g(s)=intlimits_{-infty}{+infty}e{isx}f(x),dx , где f(x) – плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении s характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

|g(s)|leqslant1,~sinmathbb{R},;

2) характеристическая функция равна единицы при s=0 , то есть g(0)=1 .

Плотность вероятности случайной величины X можно выразить через её характеристическую функцию:

f(x)=frac{1}{2pi}intlimits_{-infty}{+infty}e{isx}g(s),ds.

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой.

Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины.

Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

M(X)=-ig'(0);quad D=g'(0)-g''(0).

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины X выражается формулой

f(x)=frac{1}{sigmasqrt{2pi}}exp!left(-frac{(x-a)2}{2sigma2}
ight).

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки x=a (точка максимума). При уменьшении sigma ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову.

Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых.

А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом см. часть 9). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

M(X)=a;qquad D=sigma2.

Таким образом, параметры a и sigma в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (8.1) можно представить следующим образом:

f(x)=frac{1}{sqrt{2pi{D}}}exp!left(-frac{(x-M(X))2}{2D}
ight).

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины.

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину.

Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

https://www.youtube.com/watch?v=h6HW30wfr7E

Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой

Видео:Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

g(s)=exp!left(ias-frac{1}{2}sigma2s2
ight).

Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина X удовлетворяет неравенству alpha0.end{cases} где Gamma(a)=intlimits_{0}{infty}t{a-1}e{-t},dt — гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра a>1 и a a>1 гамма-распределение имеет моду

M_o=frac{a-1}{b}

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума x=M_o , рис. 20).

Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальным распределением называется частный случай гамма-распределения с параметрами a=1;~b=lambda>0 , то есть то есть плотность вероятности в этом случае

f(x)=egin{cases}0,&xleqslant0;lambda{e{-lambda{x}}},&x>0.end{cases}

Используя свойства два плотности распределения (см.), можно найти функцию распределения F(x) экспоненциального закона:

F(x)=egin{cases}0,&x0 , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

f(x)=egin{cases}0,&xleqslant{a};dfrac{n}{b}!left(dfrac{x-a}{b}
ight){n-1}exp!left[-!left(dfrac{x-a}{b}
ight)n
ight],&x>a.end{cases}

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

M(X)=a+bGamma!left(1+frac{1}{n}
ight)!;qquad M_0=a+sqrt{frac{n-1}{n}}.

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

Равномерный закон распределения

Случайная величина X называется распределённой равномерно на отрезке , если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:

f(x)=egin{cases}0,&xotin,dfrac{1}{b-a},&xin.end{cases}

Все возможные значения равномерно распределённой случайной величины лежат в пределах некоторого интервала; кроме того. в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (обладаю одной и той же плотностью вероятности).

Равномерно распределение реализуется в экспериментах, где наудачу ставиться точка на отрезке ( X — абсцисса поставленной точки). Равномерно распределённая случайная величина встречается также в измерительной практике при округлении отчётов измерительных приборов до целых делений шкал.

Ошибка при округлении отчёте до ближайшего целого деления является случайной величиной X , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

M(X)=frac{a+b}{2};qquad D=frac{(b-a)2}{12}.

Характеристическая функция равномерного распределения задаётся формулой

g(s)=frac{1}{is(b-a)}(e{isb}-e{isa}).

График плотности равномерного распределения изображён на рис. 23.

Пример 3. Найти вероятность попадания случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке , на участок (alpha;eta) , представляющий собой часть отрезка .

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности, получаем

P{alpha30) с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием n и дисперсией 2n . Поэтому при больших значениях n вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение chi2(n) играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом см. часть 11.

Распределение Стьюдента

Распределение хи-квадрат Случайная величина T(n) есть отношение двух независимых случайных величин U и sqrt{frac{chi2(n)}{n}} , то есть

T(n)=Ucdot!left(frac{chi2(n)}{n}
ight){-1/2}.

Распределение случайной величины T(n) называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Его плотность задаётся формулой

Видео:Законы распределения непрерывных случайных величинСкачать

f(x)=frac{Gamma!left(frac{n+1}{2}
ight)}{sqrt{pi{n}},Gamma!left(frac{n}{2}
ight)}!left(1+frac{x2}{n}
ight){- frac{n+1}{2}}.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчинённой распределению Стьюдента X=T(n) , есть

M(X)=0;qquad D=frac{n}{n-2}.

Кривые распределения Стьюдента (для различных значений n ) изображены на рис. 26.

Как и в случае и хи-квадрат распределением, при увеличении n распределение Стьюдента стремиться к нормальному, более того, стандартизованному нормальному (то есть с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией). Распределение Стьюдента, как хи-квадрат распределение, широко применяется в задачах математической обработки измерений.

Распределение Фишера

Пусть случайная величина F(n_1;n_2) равна отношению двух независимых случайных величин frac{chi2(n_1)}{n_1} и frac{chi2(n_2)}{n_2} , то есть

F(n_1;n_2)=frac{chi2(n_1)/n_1}{chi2(n_2)/n_2}.

Распределение случайной величины F(n_1;n_2) называется распределением Фишера с n_1 и n_2 степенями свободы. Оно имеет следующую плотность вероятности

f(x)=egin{cases}0,&xleqslant0;dfrac{Gamma!left(frac{n_1+n_2}{2}
ight)}{Gamma!left(frac{n_1}{2}
ight)!Gamma!left(frac{n_2}{2}
ight)}!left(dfrac{n_1}{n_2}
ight){frac{n_1}{2}}!dfrac{x{frac{n_1}{2}-1}}{left(1+frac{n_1}{n_2}x
ight){frac{n_1+n_2}{2}}},&x>0.end{cases}

Математическое ожидание случайной величины, подчинённой распределению Фишера, X=F(n_1;n_2) определяется по формуле

M(X)=frac{n_2}{n_2-2},~~n_2>2.

Графики плотностей вероятностей распределения Фишера (для различных значений n_1,n_2 ) изображены на рис. 27.

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение: хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения

T2(n)=F(1;n),quad F(n;infty)=frac{chi2(n)}{n},quad chi2(1)=U2.
Перейти к следующему разделу
Предельные теоремы теории вероятностей

47.3. Закон распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины

Прирешении задач, которые выдвигаетпрактика, приходится сталкиваться сразличными распределениями непрерывныхслучайных величин.

Плотностираспределения непрерывных случайныхвеличин называютзаконами распределений.

Чащевсего встречаются законы равномерного,нормального и показательного распределений.

Распределениевероятностей называют равномерным,если наинтервале, которому принадлежат всевозможные значения случайной величины,плотность распределения сохраняетпостоянное значение.

https://www.youtube.com/watch?v=uMBSyjrWB08

Примерравномерно распределенной непрерывнойслучайной величины: шкала измерительногоприбора проградуирована в некоторыхединицах. Ошибку при округлении отсчетадо ближайшего целого деления можнорассматривать как случайную величинукотораяможет принимать с постоянной плотностьювероятности любое значение между двумясоседними целыми делениями. Такимобразом,имеетравномерное распределение.

Найдемплотность равномерного распределениясчитая,что все возможные значения случайнойвеличины заключены в интерваленакотором функциясохраняет постоянное значение

если

Должновыполняться соотношение

или

Графикфункции будет выглядеть следующимобразом (рис. 75).

Рис.75

Плотностьравномерного распределения

Вероятностьпопадания случайной величины винтервале

Функцияраспределения случайной величиныраспределеннойпо равномерному закону, есть

Еематематическое ожидание

дисперсия

Видео:Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Покажем,как получились данные формулы.

При

При

Равномерныйзакон распределения используется прианализе ошибок округления при проведениичисловых расчетов, ошибка округлениячисла до целого распределена на отрезкевряде задач массового обслуживания, пристатистическом моделировании наблюдений,подчиненных равномерному законураспределения.

Рассмотримпример. Поездаметрополитена идут регулярно с интервалом2 минуты. Пассажир выходит на платформув случайный момент времени. Каковавероятность того, что ждать пассажирупридется не больше половины минуты.Найти случайной величинывремени ожидания поезда.

времяожидания поезда на временном отрезке

47.4. Показательный закон распределения

Показательнымзаконом распределения называютраспределение вероятностей непрерывнойслучайной величины которыйописывается плотностью

гдет.е. показательное распределениеопределяется параметромЭтоявляется преимуществом по сравнению сраспределениями, зависящими от большогочисла параметров. Обычно параметрынеизвестны и приходится находить ихоценки.

Параметромнепрерывной случайной величины,распределенной по показательномузакону, может служить время междупоявлениями двух последних событийпростейшего потока.

Функцияраспределения показательного закона

Рассмотримпример. Написатьплотность и функцию распределенияпоказательного закона, если параметр

47.5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальнымназывают распределениевероятностей непрерывной случайнойвеличины, которое описывается плотностьюраспределения вероятностей

т.е.распределение определяется двумяпараметрами

Вероятностныйсмысл этих параметров: математическоеожидание;среднееквадратическое отклонение нормальнораспределенной случайной величины

Введемновую переменную

Первоеслагаемое равно нулю (так как под знакоминтеграла нечетная функция; пределыинтегрирования симметричны относительноначала координат); второе слагаемое –интеграл Пуассона

т.е.математическое ожидание нормальногораспределения равно параметру

Поопределению дисперсия непрерывнойслучайной величины, учитывая, чтоопределяетсяформулой

Графикплотности нормального распределенияназывают нормальнойкривой (кривой Гаусса) (рис.76).

Рис.76

КриваяГаусса

Изменениевеличины параметра неизменяет формы нормальной кривой, априводит лишь к сдвигу вдоль оси вправо,есливозрастает,и влево, еслиубывает.Максимум дифференциальной функциинормального распределения равен

Следовательно,с возрастаниеммаксимальнаяордината нормальной кривой убывает, асама кривая становится более пологой,т.е. сжимается к оси ;при убываниинормальная кривая становится более«островершинной» и растягивается вположительном направлении оси

Прилюбых значениях параметров иплощадь ограниченная нормальной кривойи осьюостаетсяравной единице. Принормальнуюкривую называют нормированной

Вероятностьпопадания в заданный интервал

Рассмотримпример. Случайнаявеличина распределенапо нормальному закону. МатематическоеожиданиеНайти вероятность того, чтоприметзначение, принадлежащее интервалу

Вычисление вероятности заданного отклонения

Измерение геометрических величин

Шероховатость поверхности — совокупность неровностей поверхности с относительно малыми шагами на базовой длине. Измеряется в микрометрах (мкм)…

Математическая статистика

2.5 Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и среднего квадратического отклонения

А) для математического ожидания, считая известным, равным Если известно среднее квадратическое отклонение , то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: где а — оцениваемое математическое ожидание, х — выборочное среднее…

Методы оценок неизвестных параметров распределения

4. Вероятность отклонения в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина X задана плотностью распределения , то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , такова: Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение…

Видео:Нормальный закон распределения случайной величины. Часть 1Скачать

Методы оценок неизвестных параметров распределения

5. Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства…

Основные понятия математической статистики

Вычисление средних величин (средней величины, дисперсии, среднеквадратического отклонения

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. Средние…

Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве

3. ФОРМУЛА КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ ЗАДАННОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

Теорема 1. Все самосопряженные расширения оператора с равными и конечными дефектными числами имеют один и тот же непрерывный спектр. Теорема 2. При произвольном расширении оператора с равными и конечными индексами дефекта (…

Условная плотность вероятности

  Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины при условии называется функция: . (53.1) Соотношение (52.5) подставим в (53.1), тогда . (53.2) Отсюда следует . (53.3) — формула умножения для плотностей…

Статистические критерии определения выбросов в непрерывных статистических данных

1.1.4 Критерий наибольшего абсолютного отклонения

Данный критерий основан на статистике где — элементы вариационного ряда, а принимает вид Критические значения на уровне значимости можно посмотреть в таблицах. Таким образом, если , то значение признается выбросом…

fКлассическое определение вероятности

ТЕОРЕМА Пусть пространство элементарных событий состоит из их конечного числа и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными…

Геометрические вероятности

Пусть имеется замкнутая область G, в ней помещается область g. Произвольным образом ставится точка А в область G. Эта точка может попасть в область g, тогда вероятность того…

Сложение и умножение вероятности

ТЕОРЕМА Имеются два события А и В. Вероятность суммы событий равна сумме вероятности этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B) СЛЕДСТВИЕ 1 Вероятность суммы событий группы равна сумме вероятности событий этой группы…

3. Аксиомы теории вероятности

Суммой двух событий А и В называется событие АВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно)…

Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса)

f§1. Классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например…

Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса)

§2. Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы — это отдельные точки , любое событие — это подмножество этой области…

Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса)

§5. Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности наступления события при наступлении события . Теорема…

Основные законы распределения непрерывных случайных величин – MathHelpPlanet

Определение характеристической функции и её использование в теории вероятностей. Нормальный закон распределения и его значение в теории вероятностей. Логарифмически нормальный закон. Гамма-распределение. Экспоненциальный закон и его использование в теории надёжности, теории очередей. Равномерный закон. Распределения хи-квадрат, Вейбула, Стьюдента, Фишера.

Характеристическая функция

Во многих задачах полезной характеристикой случайной величины является её характеристическая функция.

Характеристической функцией случайной величины называется математическое ожидание комплексной случайной величины , рассматриваемое как функции параметра (здесь и далее в этой части – мнимая единица).

Таким образом, характеристическая функция непрерывной случайной величины задаётся формулой

, где – плотность вероятности.

Отметим следующие свойства характеристической функции:

1) при любом действительном значении характеристическая функция по модулю не превосходит единицы, то есть

2) характеристическая функция равна единицы при , то есть .

Плотность вероятности случайной величины можно выразить через её характеристическую функцию:

Таким образом, характеристическая функция случайной величины является её полной вероятностной характеристикой.

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Зная характеристическую функцию случайной величины, можно найти её плотность вероятности, а следовательно, и функцию распределения, то есть полностью определить закон распределения случайной величины.

Через характеристическую функцию можно выразить также числовые характеристики случайной величины, в частности её математическое ожидание и дисперсию:

Логарифмически нормальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет логарифмически нормальное распределение (сокращённо логнормальное распределение), если её логарифм распределён нормально, то есть если , где величина имеет нормальное распределение с параметрами .

Плотность логнормального распределения задаётся формулой

Математическое ожидание и дисперсию логнормального распределения определяют по формулам

Кривая этого распределения изображена на рис. 19.

Логарифмически нормальное распределение встречается в ряде технических задач.

Оно даёт распределение размеров частиц при дроблении, содержаний элементов в минералах в извержённых горных пародах, численности рыб в море и т.д.

Встречается такое распределение во всех задачах, где логарифм рассматриваемой величины можно представить в виде суммы большого количества независимых равномерно малых величин:

то есть , где независимы.

Гамма-распределение

Говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и , если её плотность распределения вероятностей имеет вид

где — гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра и (при получаем экспоненциальное распределение).

Математическое ожидание и дисперсия, подчинённые гамма-распределению, задаются формулами

Отметим, что при гамма-распределение имеет моду

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума , рис. 20).

Распределение Вейбула

Случайная величина подчиняется закону распределения Вейбула с параметрами , если её плотность распределения вероятностей записывается в виде

Математическое ожидание и мода случайной величины, распределённые по закону Вейбула, имеют следующий вид:

Кривая распределения Вейбула изображена на рис. 22.

Распределение Вейбула в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике.

Распределение хи-квадрат

Частный случай гамма-распределения с параметрами и называется распределением хи-квадрат с степенями свободы (пишут ). Если случайная величина подчиняется закону , то её плотность распределения вероятностей есть

Основные характеристики распределение хи квадрат (математическое ожидание и дисперсия):

Кривые распределения (для различных значений ) изображены на рис. 25.

Случайная величина , подчиняющаяся хи-квадрат распределению, равна сумме квадратов независимых случайных величин , каждая из которых имеет стандартизированное нормальное распределение, то есть

Пусть и — независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределение со степенью свободы соответственно и . Сумма этих случайных величин имеет также хи-квадрат распределение с степенями свободы:

Заметим, что распределение при больших значениях с достаточной для практических расчётов точностью аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому при больших значениях вероятности рассчитываются по нормальному закону.

Распределение играет большую роль в математической статистике. Подробнее об этом см. часть 11.

Видео

Непрерывная случайная величина и ее свойстваСкачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Непрерывная случайная величина. Функция распределенияСкачать

14 Непрерывные случайные величины ЗадачиСкачать

Равномерное распределение случайной величиныСкачать

Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Нормальное распределение непрерывной случайной величиныСкачать

Нормальный закон распределения. Функция ЛапласаСкачать

Самое нормальное распределение // Vital MathСкачать

Случайные величины. ВведениеСкачать

Непрерывные случайные величиныСкачать

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение НСВСкачать

Экспоненциальное (показательное) распределение непрерывной случайной величины.Скачать

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величиныСкачать

Непрерывная случайная величина. Плотность вероятностейСкачать